ベイズの定理

備忘録

ベイズの定理とは結果から原因を推定する

今回は、 ベイズの定理について書いていこうと思います。詳しい公式は、ググって他のサイトを見たほうが早いかも。この記事は、あくまで中身の理解を促すためのものです。

ベイズの定理とは、結果からどの原因が大きく影響しているのかを推計する定理です。

どんな結果も原因がつきものです。ぼくは、昔、先生に「大学を卒業しないと金持ちになれないぞ!」と言われたことがあります。 (うそだ)

しかし、大学を卒業しなくても、金持ちになっている人は大勢います。

そこで、僕が上記のように言い返したら、先生は「それは特例だ!」と暴論をぶつけてくるのでした。

特例という名の反例があるのなら「大学を卒業しないと金持ちになれない」という論理は破綻しますから…

とはいえ、大学を卒業して一流企業に入って出世した結果、金持ちになる人はそうでない人よりは多いイメージがあります。

そこで、でてくるのがベイズの定理です。この例の場合、金持ちになるという結果に大学卒業がどれだけ寄与しているかが推計できます。

他にも

・1億円が当選しましたと書かれた(原因)メールが迷惑メール(結果)である確率
・学歴が高い人材(原因)が優秀である(結果)確率

など様々なことに使えます。では、実際にやってみましょう。

金持ちになるためには大学を卒業する必要はありそう?

例) ぼくは金持ちに、具体的には年収1000万以上は稼ぎたいが大学を卒業するより、そのお金で海外旅行をぱっーとしたいと考えていた。

しかし、先生の「大学を卒業しないと金持ちになれない」という言葉が頭をよぎって、海外旅行に踏み出せなかった。

そこで、大学を卒業したとき年収1000万以上稼ける確率はいくつであるかを計算することにした!「大卒(原因)で年収1000万円以上(結果)」

まず … (例えばの話です)

1. 日本で年収1000万円以上を稼いでいるのは全体の1%で、かつこのうちの大卒率は70% 2. 日本全体の大卒率は60%

そして、次にこれらを
事象P(大卒)=0.6 ・・・2より
事象P(年収1000万以上)=0.01 ・・・1より

と分けることができる。

次に、「大卒(原因)で年収1000万円以上(結果)」を「年収1000万以上という前提のもと大卒である確率」と読み替える。

これをP(大卒 | 年収1000万以上)と書く。これは、1より0.7ということがわかる。

しかし、欲しいのは「大卒(原因)で年収1000万円以上(結果)」であり、

P(年収1000万以上 | 大卒)である! ←大卒という前提のもと年収1000万円の確率!

ここで、大卒かつ年収1000万以上とはどのように書けるだろうか?

P(大卒かつ年収1000万以上) ←これは(A∩B)の公式
=P(年収1000万円) × P(大卒 | 年収1000万以上)
=P(大卒) × P(年収1000万以上 | 大卒)

となる。 上記の式を補足説明すると、日本全国の年収1000万円の中にいる大卒の人という意味と日本全国の大卒の中にいる年収1000万円の人の確率という意味。

よって、

P(年収1000万円) × P(大卒 | 年収1000万以上)=P(大卒) × P(年収1000万以上 | 大卒)

だから

P(年収1000万以上 | 大卒) = P(年収1000万円) × P(大卒 | 年収1000万以上) / P(大卒)

よって、

P(年収1000万以上 | 大卒) = 0.01 × 0.7 / 0.6 ≒ 0.011 = 1.1%

とわかる。

しかし1.1%は低いので、海外旅行にパーっといくのであった…🤦‍♂️
※参考(西内啓著,統計学が最強の学問である数学編)

是非、ベン図を書いてみるとわかりやすいです。

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